这时年仅22岁的蒙日再一次显示了他“以几何的精确性说明思想的手指”的才华。他初创出“画法几何学”的方法，在一项防御工事掩蔽体的设计中，不用惯用的计算方法，而采取几何图解法，避开了冗长的、烦琐的算术计算，迅速地完成了任务。一天，蒙日呈交上自己对这项工程设计的解答报告，报告随即被转交给一位高级官员审查。起初，这位官员怀疑当时有人能解决这个问题，拒绝审查蒙日的报告。后经蒙日再三要求，他才进行审查。审查过后，他发现蒙日画法几何学的方法是严密的，结果是正确的。这种方法为工程设计带来了极大的方便。以前像恶梦一样令人头疼的问题，即人们在设计时由于计算失误而导致工程不符合要求，只好把已建成的工事拆毁，再重新设计施工才能解决的工程难题，在使用蒙日的画法几何方法后变得十分简单而易于解决了。蒙日的才华再次被人们发现，学院立即任命他为教师，让他把这个新的方法教给未来的军事工程师们；而且校方规定他只限于在校内讲画法几何学的设计制图方法，对外保密。

定理内容：平面上任意三个圆，若这三个圆圆心不共线，则三条根轴相交于一点，这个点叫它们的根心；若三圆圆心共线，则三条根轴互相平行。

证明：设A、B、C三个圆，圆心不重合也不共线，证明三根轴交于根心。根轴定义如下：A与B的根轴L1：到A与B的切线相等的点；B与C的根轴L2：到B与C的切线相等的点。考察L1与L2的交点P。因为P在L1上，所以：P到A的切线距离=P到B的切线距离。因为P在L2上，所以：P到B的切线距离=P到C的切线距离。所以：P到A的切线距离=P到B的切线距离=P到C的切线距离。也就是：P到A的切线距离=P到C的切线距离。所以：P在A与C的根轴上。所以：三个根轴交于一点。

蒙日用平面图形表示立体的画法几何学思想。

蒙日在皇家军事工程学院讲授画法几何学，时间长达15年。1784年由于被任命为海军学员主考官而离开该校。1795年巴黎高等师范学校成立，蒙日应邀讲授画法几何学，并辅导作业，学生有1200多名，来自全国各地，助教为著名的科学家傅立叶。讲授过程中他不断地融入自己科研的实例和理论成果，讲授内容的速记稿随后在该校校刊发表，但对外保密。同年，综合工科学校成立，蒙日将画法几何学列为该校的“革命科目”，并亲自担任教学工作。1798年由于学生们的吁请，《画法几何学》的保密令被取消，该书得以正式出版。

蒙日《画法几何学》的最初版本，包括5个部分，即画法几何学的目的、方法及基本问题；曲面的切平面和法线；曲面的交线；曲面相贯线作图方法在解题中的应用；双曲率曲线的曲率和曲面的曲率。在1820年出版的第4版中，人们又根据他生前的手稿，整理增加了阴影理论和透视理论两个部分。

蒙日的画法几何学的核心思想，就是用二维的平面图形来表示通常三维空间中的立体和其他图形。具体地说就是，首先想象两个成直角相交的平面，就像把一本书打开成90°角：一张平面水平放置，另一张垂直放置。要描画的空间图形由垂直于平面的射线分别投影到两个平面上。这样就有了空间图形的两个投影：在水平平面上的投影叫俯视图，在垂直平面上的投影叫正视图。如果必要的话，还可以作出第3个投影，叫侧视图。把垂直平面翻下来，使它和水平平面落在同一个平面（即水平平面所在的平面）上，就像把书打开平放在桌面上一样。于是，空间立体或其他图形就由两个投影描画在同一个平面上了。这样我们就有了一个作图方法，它把我们通常想象的或实在的三维空间中的东西通过同一平面上的两幅平面图形表达出来了。用平面表达立体，用二维刻画三维，这就是画法几何学的思想。

蒙日《画法几何学》的绘图法，主要是用二正交投影面定位的正投影法，有人称为“蒙日法”。但这种绘图法并非蒙日首创。欧洲文艺复兴时期的1525年，德国的迪勒已应用互相垂直的三画面画过人脚、人头的正投影图和剖面图。17世纪末意大利人波茨措所著《透视图与建筑》中介绍了先画物体的二正投影图，然后根据正投影图画透视图的方法。可是，这些方法的表述不是系统的，而是零散的。蒙日的最大贡献在于用“投影”（或“射影”）的观点对这些方法进行了几何的分析，从中找出规律，形成体系，使经验上升为理论；同时使作图方法也形成了体系。利用这种体系，不仅所绘图形精确了，难画的部位容易被画出了，而且可以用来图解立体的空间几何性质，由“已知通向未知”，寻求“真相”。

在蒙日看来，画法几何学是每一个设计人员和技术工人必须具备的一种通用语言。按照这种语言，设计人员可以把自己头脑中设想的机器部件用一张图纸上的两幅平面图形表示出来；图纸到了工厂，熟练的技术工人根据这两幅平面图形立即想象出该部件的实际形状应该是什么样子，并把它制造出来。因此，他在《画法几何学》的导言中指出，画法几何学既是使法国摆脱长期对外国工业的依赖、普及工业进步不可缺少的知识，也是利用机器减轻手工劳动、提高产品精确度的不可缺少的知识。正因为如此，《画法几何学》公开出版后便不胫而走，迅速传入各国。起初是军工学校，之后是普通理工院校相继开设了这一科目，出现了英、德、俄、日等语种的译本。画法几何学得到广泛的推广应用，对各国工业的发展起了重要的推动作用。本世纪的一位数学家评论说，没有蒙日的画法几何学，19世纪机器的大规模的出现也许是不可能的。我们人类文明的相当大一部分要归功于数学家蒙日。

蒙日的画法几何学思想，同样得到学术界的高度评价。著名数学大师高斯在1810年说，蒙日的《画法几何学》一书简明扼要，由浅入深，系统严密，富有创新，体现了“真正的几何精神”，是“智慧的滋补品”。高斯并不否认代数解析法的优点，但他认为过多地依赖解析法会失掉基于直觉想象力的几何思考能力的作用。于是他建议德国人应当认真研读蒙日的《画法几何学》。

法国数学家加斯帕尔·蒙日(Gaspard Monge)做梦也没有想到自己竟会遭人检举。这个平民出身的人，几乎为动荡的祖国奉献了自己全部才智，但还是跟不上革命形势。

革命形势在1794年已经开始恶化，蒙日的好友、化学家拉瓦锡就是在那时被声称“革命不需要科学”的群众，送上了断头台。

两年后50岁的蒙日又被革命群众认定为“不够激进”。他不得不从巴黎逃离，路途中还担心自己的安危——狂热的革命群众随时可能把他抓回去，并送上断头台。

原来在4年前，他们见过面。当时蒙日担任法国海军部长，拿破仑尚是“不得宠的年轻炮兵军官”。在部长那里，拿破仑受到了“热诚的欢迎”。尽管蒙日根本记不起这件事，拿破仑则依旧“珍藏着这段记忆”。一封意外的来信打消了蒙日的恐惧。写信人是法兰西共和国意大利方面军总司令拿破仑，27岁的总司令在信中表示，除了乐意向蒙日“伸出感激和友谊之手”，还想向他致谢。

当然，蒙日留给法兰西人的值得珍藏的记忆，还远不止这些。

1768年，22岁的蒙日初创了“画法几何学”，这是如今机械制图和图解方法的根源。梅济耶尔军事学校的这个小伙子，用这种方法设计出了防御工事。起初，设计方案被送到一位高级官员面前，对方不相信这个磨刀匠的儿子能创造奇迹，连看都不愿看一眼。在蒙日的坚持下，官员最终审查了他的方案，发现竟然是正确的，并可以为工程设计带来极大的方便。

这随即让画法几何成为军事秘密，也让蒙日成为数学教授，但他必须宣誓不泄密。

26年之后，蒙日才有机会在巴黎的学校公开讲授画法几何。大数学家拉格朗日当时也在听众之列，他断言：“凭着把分析学应用到几何上，这个精力充沛的人将使他自己不朽。”

但是，迎接蒙日的不是“不朽”，而是“不堪”。正当他忙于为国民公会制造大炮和火药时，他自己住所的看门人检举了他。在混乱的革命形势中，蒙日匆忙逃离了。

他最终握住了拿破仑伸出的感激之手。蒙日被派往意大利，负责挑选意大利人作为战败赔偿而“捐献”给拿破仑的绘画、雕塑等艺术品。

不过，蒙日发现被装上船的艺术品足足可以布置7个卢浮宫。他向拿破仑建议“适可而止”。尽管这多少破坏了自己的兴致，但拿破仑最后还是重视了蒙日的建议，并开始把他作为自己的知己。

正是这个知己，在拿破仑最趾高气扬的日子，也不给他面子。

1804年，拿破仑加冕称帝时，在蒙日担任校长的巴黎综合工科学校里，学生们群起反对帝制。

拿破仑质问蒙日，“好啊，你的学生几乎全都反抗我！”

蒙日则回答：“陛下，请恕我直言，您转变得也太突然了！”作为校长，蒙日本能地为自己那些拥护共和政体的学生辩护。

而20多年前，担任海军军官候补生资格的主考人时，因为一些贵族子弟不称职，蒙日毫不留情地取消了他们的军官资格。这让一些贵族心怀不满，他们扬言要严厉地惩罚蒙日，蒙日则针锋相对：“如果你们不喜欢我的处事方式，那就另请高明吧。”

贵族们最终屈服于蒙日对原则的坚持。而这一次，让步的是新登基的皇帝拿破仑。皇帝和他的朋友，没有因为这次辩论而反目。相反，为了表彰蒙日的功绩，拿破仑封他为佩吕斯伯爵。

但要衡量蒙日的贡献，显然不只封爵这么简单。

1798年，在学生们的强烈呼吁下，保密令被取消，《画法几何学》得以出版。很快，这本书便出现了英、德、俄、日等语种的译本，对各国工业的发展起了重要的推动作用。后人曾评价说：“没有蒙日的几何学，也许就不可能有19世纪机器的大规模生产。”

甚至连数学王子高斯，也称赞蒙日的《画法几何学》体现了“真正的几何精神”，是“智慧的滋补品”，他建议德国人应当认真研读。

可是在法国，拿破仑战败后，曾幻想找一个同伴漫游美洲，研究科学界尚未定论的地球物理学的全部奇异现象。67岁的蒙日自告奋勇，却遭到拿破仑粗暴的拒绝——“你太老了，我要找个年轻的！”

复辟的波旁王朝则剥夺了这个老人的一切。他们把蒙日从科学院开除。为了保住脑袋，他不得不从一个贫民窟躲到另一个贫民窟，最终凄凉地辞世。

但在巴黎综合工科学校，这个曾多年担任校长的人，仍是年轻学生们的偶像。国王禁止学生参加蒙日的葬礼。但第二天，这个最后被他的皇帝朋友抛弃的人，最终在他的学生那里被深深地怀念——全体学生前往墓地，给他们的老师献上了花圈。