更新时间：2023-01-07 22:12
特殊函数是指一些具有特定性质的函数，一般有约定俗成的名称和记号，例如伽玛函数、贝塞尔函数、菲涅耳积分等。它们在数学分析、泛函分析、物理研究、工程应用中有着举足轻重的地位。许多特殊函数是微分方程的解或基本函数的积分，因此积分表中常常会出现特殊函数，特殊函数的定义中也经常会出现积分。传统上对特殊函数的分析主要基于对其的数值展开基础上。随着电子计算的发展，这个领域内开创了新的研究方法。因为微分方程的对称性在数学和物理中的重要性，特殊函数理论也与李群和李代数密切相关。
事实上，对于哪些函数属于特殊函数，并没有明确的规定。函数列表中列出了一些通常被认为的特殊函数。广义上，基本超越函数（即指数函数、对数函数、非有理次幂的幂函数、双曲函数、三角函数等周期函数）也称为特殊函数。
许多特殊函数作为微分方程或基本函数积分的解出现。
因此，积分表通常包括特殊函数的描述，特殊函数表包括最重要的积分，至少是特殊功能的整体表现。
由于微分方程的对称性对物理和数学都是至关重要的，所以特殊函数理论与李群和李代数的理论以及数学物理学中的某些主题密切相关。符号计算引擎通常识别大多数特殊功能。 并不是所有这样的系统都具有有效的算法用于评估，特别是在复杂的平面上。
具有既定国际符号的函数是sin，cos，exp，erf和erfc。
一些特殊函数有几个符号：
（1）自然对数可以写为Log, log, logeor ln；
（2）切线函数可以表示为Tan，tan或tg（特别是在俄语和保加利亚文学中）；
（3）反正切可写为arctan，atan，arctg或tan；
（4）贝塞尔函数写为
下标通常用于指示参数，通常是整数。 在一些情况下，分号（；）或甚至反斜杠（\uff09用作分隔符。 在这种情况下，对算法语言的翻译承认歧义，并可能导致混淆。
上标可能不仅指示取幂，而且可以表示功能的修改。 示例（特别是三角函数双曲函数）包括：
通常表示 ；
是 ，但是不是 ；
通常表示 ，而不是 ，这经常导致混乱，因为使用该指数值的解释与其他值不一致。
大多数特殊函数被视为复杂变量的函数，描述了奇点和切割。差分和积分表示是已知的，并且对泰勒级数或渐近序列的扩展是可用的。另外有时候还有其他特殊功能的关系；复杂的特殊功能可以用简单的功能来表达。 各种表示可用于评估；评估函数的最简单方法是将其扩展为泰勒级数。然而，如果有的话，这种表现可能会慢慢收敛。在算法语言中，通常使用有理近似，尽管它们在复杂参数的情况下可能表现不佳。
尽管三角学可以被编纂，自十九世纪以来，寻求一个完整统一的特殊函数理论已经持续发展。 1800 - 1900年间特殊函数理论的最高点是椭圆函数理论；从那时起，就假设三角函数和指数函数的分析函数理论是一个基本的工具。 本世纪末，还对球面谐波进行了非常详细的讨论。
当然，包括尽可能多的已知特殊函数的广泛理论具有其吸引力，但其他动机也值得注意。长期以来，特殊函数应用于数学、物理科学和工程学确定了功能的相对重要性。
那么这个理论有两个方面：
相比之下，人们可能会说，数学中有一些典型的方法：渐近分析，复杂平面中的分析延续和单调，以及行列中无尽公式背后的对称性原则和其他结构的发现。 事实上，这些方法之间没有真正的冲突。
二十世纪对特殊函数理论兴趣正浓。惠特克和沃森（1902）的经典教科书试图通过使用复杂的变量来统一理论；G. N. Watson将贝塞尔功能理论技术尽可能地推广到一种特别允许渐近研究的重要类型。
后来的贝特曼手稿项目，在亚瑟·埃里迪亚（ArthurErdélyi）的编辑下，被百科全书收录，当电子计算出现的时候，表格不再是主要的问题。
正交多项式的现代理论是一个确定但有限的范围。 超几何系列成为一个复杂的理论。李代数，特别是他们的表征理论，解释了一般的球面函数； 从1950年起，古典理论的实质部分可以用李代数来重写。此外，代数组合的工作也唤起了对理论的较旧部分的兴趣。 Ian G. Macdonald的猜想帮助开创了具有典型特色函数的新领域。
在数论中，传统上研究了某些特殊功能，例如特定的狄里克雷系列和模块化形式。特别函数理论的几乎所有方面都能在数论中反映出来，还有一些新的延伸，例如从月球理论中得到的函数。
（1）数学函数列表；
（2）特殊函数和同义词列表。